Question

我们把离心率为e=

5 +1

2

的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 （a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．给出以下几个说法：
①等轴双曲线不是黄金双曲线；
②双曲线x²-

2y2

5 +1

=1是黄金双曲线；
③若b²=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
④如图，若∠F₁B₁A₂=90°，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

分析：对于①②求出双曲线的离心率判断正误；
对于③通过a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；
对于④通过∠F₁B₁A₂=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；

解答：解：①等轴双曲线的离心率是

2

，故不是黄金双曲线，即①正确；
②由双曲线x²-

2y2

5 +1

=1，可得离心率e=

1+ 5 +1 2

=

5 +1

2

，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；
③∵b²=ac，∴c²-a²-ac=0，化为e²-e-1=0，又e＞1，解得e=

5 +1

2

，因此该双曲线是黄金双曲线，即③正确；
④∵∠F₁B₁A₂=90°，∴|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2，∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化为c²-ac-a²=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；
故答案为：①②③④．

点评：本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．