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3.已知圆O的方程为x2+y2=1,点P为x轴正半轴上一点,过点P作圆O的切线PA,PB,求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值.

分析 设P(t,0),利用圆的切线性质得出|PA|,sin∠APO.使用二倍角公式计算cos∠APB,代入向量的定义式得出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$关于t的函数,利用不等式得出数量积的最小值.

解答 解:∵PA,PB是圆O的切线,
∴|PA|=|PB|,∠APO=∠BPO,
设P(t,0),则t>1.
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{{t}^{2}-1}$,sin∠APO=$\frac{1}{t}$,
∴cos∠APB=1-2sin2∠APO=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$.
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|PA||PB|cos∠APB=(t2-1)(1-$\frac{2}{{t}^{2}}$)=t2-3+$\frac{2}{{t}^{2}}$≥2$\sqrt{2}$-3.(当且仅当t2=$\frac{2}{{t}^{2}}$,即t2=$\sqrt{2}$时取等号)
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为2$\sqrt{2}-3$.

点评 本题考查了平面向量的数量积运算,圆的切线的性质,属于中档题.

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