Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$+$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式化简函数f（x）的解析式为f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，由周期公式即可得解．
（2）由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{5π}{4}$，-$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{1}{2}cos2x$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{5π}{4}$，-$\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的最大值为：1，最小值为：$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．