Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；

（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到与的关系，将表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果

解：（1）由已知，得

由，两式相减，得

根据已知条件有，

当时，

∴，即

∴椭圆的标准方程为

（2）当直线斜率不存在时，，不等式成立.

当直线斜率存在时，设

由得

∴，

∴

由

化简，得

∴

令，则

当且仅当时取等号

∴

∵

∴

当且仅当时取等号

综上，