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集合Mk(k≥0)是满足下列条件的函数f(x)全体:如果对于任意的x1,x2∈(k,+∞),都有f(x1)+f(x2)>f(x1+x2).
(1)函数f(x)=x2是否为集合M0的元素,说明理由;
(2)求证:当0<a<1时,函数f(x)=ax是集合M1的元素;
(3)对数函数f(x)=lgx∈Mk,求k的取值范围.
(1)取x1=2,x2=3∈(0,+∞),…1分
f(x1)=22=4,f(x2)=32=9,f(x1+x2)=52=25>f(x1)+f(x2),…1分
∴函数f(x)=x2不是集合M0的元素.…1分
(2)证明:任取x1,x2∈(1,+∞),
f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=ax1+ax2-ax1+x2…1分
=1-(1-ax1)(1-ax2),…1分
∵0<a<1,x1>1,根据指数函数的性质,得0<ax1<1,∴0<1-ax1<1
同理,0<1-ax2<1,∴0<(1-ax1)(1-ax2)<1,∴1-(1-ax1)(1-ax2)>0
∴f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),∴函数f(x)=ax是集合M1的元素.…2分
(3)∵对数函数f(x)=lgx∈Mk,∴任取x1,x2∈(k,+∞),f(x1)+f(x2)>f(x1+x2)成立,
即lgx1+lgx2=lg(x1•x2)>lg(x1+x2)成立,
∴x1•x2>x1+x2对一切x1,x2∈(k,+∞)成立,…1分
1>
1
x1
+
1
x2
对一切x1,x2∈(k,+∞)成立,
∵x1,x2∈(k,+∞),∴
1
x1
+
1
x2
∈(0,
2
k
),
2
k
≤1,∴k≥2.…2分.
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科目:高中数学 来源: 题型:

集合Mk(k≥0)是满足下列条件的函数f(x)全体:如果对于任意的x1,x2∈(k,+∞),都有f(x1)+f(x2)>f(x1+x2).
(1)函数f(x)=x2是否为集合M0的元素,说明理由;
(2)求证:当0<a<1时,函数f(x)=ax是集合M1的元素;
(3)对数函数f(x)=lgx∈Mk,求k的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年辽宁省丹东市宽甸二中高一(上)期末数学试卷(解析版) 题型:解答题

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(1)函数f(x)=x2是否为集合M的元素,说明理由;
(2)求证:当0<a<1时,函数f(x)=ax是集合M1的元素;
(3)对数函数f(x)=lgx∈Mk,求k的取值范围.

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