Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
（1）对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)；
（2）对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0．
若P=f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

r2+r-1

)+…+f(

1

20122+2012-1

)，Q=f(

1

2

)，R=f（0），则P、Q、R的大小关系为（　　）

A．P＜R＜Q

B．Q＜R＜P

C．P＜Q＜R

D．Q＜P＜R

Answer 1

分析：利用题设条件，先推导出f（0）=0=R，f（x）是奇函数，f（x）在（-1，1）上为单调递减．把f(

1

r2+r-1

) 化为 f（

1

r

）-f（

1

r+1

），可得P=f(

1

2

)-f(

1

2013

)＞Q=f(

1

2

)，由此能求出P、Q、R的大小关系．

解答：解：∵x∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，
∴f（0）-f（0）=f（

0-0

1-0

）=f（0），解得f（0）=0，即 R=f（0）=0．
f（0）-f（x）=f（

0-x

1-0

）=f（-x），解得f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
∵对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0，故当x∈（0，1）时，都有f（x）＜0，Q=f(

1

2

)＜0．
令-1＜x＜y＜1，f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，∵x-y＜0，1-xy＞0，∴

x-y

1-xy

＜0．
又

x-y

1-xy

+1=

x-y+1-xy

1-xy

=

(1+x)(1-y)

1-xy

，∵1+x＞0，1-y＞0，1-xy＞0，∴

x-y

1-xy

＞-1，
∴f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0，∴f（x）在（-1，1）上为单调递减，
从而可得f（

1

2

）＜f(

1

5

)＜f(

1

11

)＜…＜f(

1

r2+r-1

)＜…＜f(

1

20122+2012-1

)＜0，
故P=f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

r2+r-1

)+…+f(

1

20122+2012-1

)＜0．
由于f(

1

r2+r-1

)=f（

1

r(r+1)-1

）=f（

1 r + -1 r+1

1+ 1 r • 1 r+1

）=f（

1

r

）+f（

-1

r+1

）=f（

1

r

）-f（

1

r+1

），
∴P=f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

r2+r-1

)+…+f(

1

20122+2012-1

)=f(

1

2

)-f(

1

3

)+f(

1

3

)-f(

1

4

)+f(

1

4

)-f(

1

5

)+…+f(

1

2012

)-f(

1

2013

)
=f(

1

2

)-f(

1

2013

)．
由于f（

1

2013

）＜0，∴P=f(

1

2

)-f(

1

2013

)＞f（

1

2

）．
综上可得，Q＜P＜R，
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的推导和应用，综合性强，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于难题．