Question

符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数h（x）=[x]-x，那么下列说法：
①函数h（x）的定义域为R，值域为（-1，0]；
②方程h（x）=-

1

2

有无数解；
③函数h（x）满足h（x+1）=h（x）恒成立；   
④函数h（x）是减函数．
正确的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：根据取整函数的定义，可得函数h（x）=[x]-x的最小正周期为1，在区间（k，k+1）（k∈Z）上是减函数，且函数的值域为（-1，0]．由此与各个选项加以比较，即可得到本题的答案．

解答：解：对于①，根据[x]的定义，得
当x为整数时，[x]=x，从而h（x）=[x]-x=0，此时h（x）得最大值；
当x的小数部分不为0时，x-1＜[x]＜x，故h（x）=[x]-x∈（-1，0）．
综上所述，得h（x）的定义域为R，值域为（-1，0]．故①正确．
对于②，当x=k+

1

2

（k∈Z）时，[x]=k，从而h（x）=[x]-x=-

1

2

因此，方程h（x）=-

1

2

的解有无数个，故②正确；
对于③，因为一个数增加1个单位后，它的小数部分不变，而整数部分增加1，
因此[x+1]=x+1，从而得到h（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]-x
∴h（x）满足h（x+1）=h（x）恒成立，得③正确；
对于④，函数h（x）=[x]-x在区间（k，k+1）（k∈Z）上是减函数
但是由于函数h（x）是分段函数，图象不连续，所以函数h（x）不是R上的减函数，故④不正确．
故答案为：①②③

点评：本题以取整函数为例，要我们判断关于函数h（x）=[x]-x性质的几个命题的真假，着重考查了函数的单调性、周期性和函数的定义域、值域等知识，属于中档题．