Question

15．证明不等式|arctana-arctanb|≤|a-b|．

Answer 1

分析 原不等式可等价为：arctana-a≤arctanb-b，只需构造函数f（x）=arctanx-x，再运用函数的单调性证明不等式．

解答 证明：∵正切函数y=tanx在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴其反函数y=arctanx在R上也单调递增，
不妨设，a≥b，原不等式可化为：arctana-arctanb≤a-b，
因此，原不等式等价为：arctana-a≤arctanb-b，-----①
要证不等式①成立，只需构造函数，f（x）=arctanx-x，x∈R，
f'（x）=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立，
所以，f（x）在R上单调递减，
由于a≥b，所以f（a）≤f（b），
即arctana-a≤arctanb-b，
所以，|arctana-arctanb|≤|a-b|．
说明：本题也可以利用“拉格朗日中值定理”证明．

点评 本题主要考查了运用导数证明不等式，涉及正切，反正切函数的性质，导数的运算，以及函数单调性的确定，属于中档题．