Question

17．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1
（1）求f（8）；
（2）求不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集；
（3）当x∈[0，2]，a∈[-1，1]时f（x）≤m²-2am+1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知等式拆分8，结合f（2）=1可得答案；
（2）不等式f（x）-f（x-2）＞3化为f（x）＞f（x-2）+3，结合f（8）=3，转化为f（x）＞f（8x-16），进一步转化为不等式组求解；
（3）由函数单调性及f（2）=1得到x∈[0，2]时f（x）的最大值，把a∈[-1，1]时f（x）≤m²-2am+1恒成立化为a∈[-1，1]时，m²-2am+1≥1恒成立，看作关于a的一次函数，进一步转化为不等式组求解．

解答 解：（1）由题意得f（8）=f（4×2）
=f（4）+f（2）
=f（2×2）+f（2）
=f（2）+f（2）+f（2）
=3f（2），
又∵f（2）=1，
∴f（8）=3；
（2）不等式f（x）-f（x-2）＞3化为f（x）＞f（x-2）+3
∵f（8）=3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{8x-16＞0}\\{x＞8x-16}\end{array}\right.$，解得2＜x＜$\frac{16}{7}$．
∴不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集为{x|2＜x＜$\frac{16}{7}$}；
（3）∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（2）=1，
∴f（x）在x∈[0，2]上的最大值为1，
a∈[-1，1]时，f（x）≤m²-2am+1恒成立，
即a∈[-1，1]时，m²-2am+1≥1恒成立．
∴m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$恒成立．
解得：m≤-2或m≥2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了抽象函数的单调性及其应用，体现了“更换主元”思想在解题中的应用，是中档题．