Question

直线l倾斜角为45°且与抛物线x²=2py（p＞0）交于A，B两点，A，B两点的横坐标之和为2．
（Ⅰ）求此抛物线的方程；
（Ⅱ）若此抛物线的准线为t，过t上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，判断直线MN是否过此抛物线的焦点F，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：计算题,作图题,导数的综合应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意先设直线l的方程为y=x+b，再与抛物线x²=2py（p＞0）联立消y得求得p=1，从而解得；
（Ⅱ）设M（x₁，

x12

2

），N（x₂，

x 2 2

2

）；再求导y′=x，从而写出M点处的切线为y=x₁（x-x₁）+

x12

2

；N点处的切线为y=x₂（x-x₂）+

x 2 2

2

；从而得到x₁x₂=-1；且可写出MN的直线方程为

2y- x 2 1

x 2 2 - x 2 1

=

x-x1

x2-x1

；再令x=0求y即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，设直线l的方程为y=x+b；
与抛物线x²=2py（p＞0）联立消y得，
x²-2px-2pb=0；
故由A，B两点的横坐标之和为2知，
2p=2；
故p=1；
故求此抛物线的方程为x²=2y；
（Ⅱ）设M（x₁，

x12

2

），N（x₂，

x 2 2

2

）；
又由y′=x得；
M点处的切线为y=x₁（x-x₁）+

x12

2

；
N点处的切线为y=x₂（x-x₂）+

x 2 2

2

；
联立方程y=x₁（x-x₁）+

x12

2

与y=x₂（x-x₂）+

x 2 2

2

得，
x=

x1+x2

2

，y=

x1x2

2

；
故两者交点为（

x1+x2

2

，

x1x2

2

）；
而交点y=-

1

2

，即

x1x2

2

=-

1

2

；
故x₁x₂=-1；
故MN的直线方程为

2y- x 2 1

x 2 2 - x 2 1

=

x-x1

x2-x1

；
当x=0时，2y=（-x₁）（x₁+x₂）+

x

2 1

=-x₁x₂=1；
故y=

1

2

；
故直线MN恒过定点（0，

1

2

），即此抛物线的焦点F．

点评：本题考查了学生的作图能力及圆锥曲线及导数的综合应用，属于中档题．