Question

若函数f（x）=x²+ax+b有两个零点cosα，cosβ，其中α，β∈（0，π），那么在f（-1），f（1）两个函数值中（　　）

A．只有一个小于1

B．至少有一个小于1

C．都小于1

D．可能都大于1

Answer 1

分析：因为cosα，cosβ是函数f（x）=x²+ax+b有两个零点，所以可用cosα及cosβ表示f（1）、f（-1），再对α、β分①当0＜α＜β≤

π

2

时；②当

π

2

≤α＜β＜π时；③当0＜α≤

π

2

＜β＜π时，及当0＜α＜

π

2

≤β＜π时讨论即可．

解答：解：∵函数f（x）=x²+ax+b有两个零点cosα，cosβ，∴cosα+cosβ=-a，cosα×cosβ=b．
∴f（1）=1+a+b=1-cosα-cosβ+cosα cosβ=（1-cosα）（1-cosβ），
f（-1）=1-a+b=1+cosα+cosβ+cosα cosβ=（1+cosα）（1+cosβ）．
∵α，β∈（0，π），下面对α，β分以下三种情况讨论（不妨设α＜β）．
①当0＜α＜β≤

π

2

时，0≤cosβ＜cosα＜1，
∴1＞1-cosα＞0，1≥1-cosβ＞0，1+cosα＞1，1+cosβ≥1，
∴f（1）＜1，f（-1）＞1．
②当

π

2

≤α＜β＜π时，-1＜cosβ＜cosα≤0，
∴0＜1+cosβ＜1，0＜1+cosα≤1，1-cosβ＞1，1-cosα≥1，
∴f（1）＞1，f（-1）＜1．
③当0＜α≤

π

2

＜β＜π时，-1＜cosβ＜0≤cosα＜1，cosαcosβ≤0．
当cosα=0时，f（-1）=1+cosβ＜1．
下面对cosαcosβ＜0用反证法证明f（1）、f（-1）必有一个小于1．
假设f（1）≥1，f（-1）≥1，
则1-cosα-cosβ+cosα cosβ≥1，1+cosα+cosβ+cosα cosβ≥1，
∴cosαcosβ≥cosα+cosβ≥-cosαcosβ，
∴cosαcosβ≥0，
这与cosαcosβ＜0矛盾，故f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
对0＜α＜

π

2

≤β＜π时，同理可得f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
综上①②③可知：f（1）与f（-1）中必有一个小于1．
故选B．

点评：本题综合考查了一元二次方程的根与系数的关系、函数的零点、三角函数的单调性及值域，分类讨论是解决此问题的关键．