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已知函数f(x)=
2x-a
2x+1
,其中a为常数,且函数f(x)是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并给予证明;
(3)求函数f(x)的值域.
考点:奇偶性与单调性的综合,函数的值域,函数单调性的判断与证明
专题:函数的性质及应用
分析:(1)通过奇函数的定义,比较系数,即可求a的值;
(2)直接判断函数f(x)在区间(0,+∞)的单调性,利用函数的单调性的定义证明;
(3)利用反函数的定义域,求解函数f(x)的值域.
解答: 解:(1)函数f(x)是奇函数,所以对任意实数x(x≠0),
都有f(-x)=-f(x),即
2-x-a
2-x+1
=-
2x-a
2x+1

整理得(a+1)(2x-1)=0,
因为2x-1不恒为零,所以a+1=0,a=-1.…(4分)
(2)函数f(x)=
2x-1
2x+1
(0,+∞)是增函数,证明如下:
在区间(0,+∞)上任取x1>x2>0,则2x1-2x2>0,(2x1+1)(2x2+1)>0
所以f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
>0
,结论成立.…(10分)
(3)设y=
2x-1
2x+1
,整理得2x=
y+1
1-y
(y≠1)
,由2x>0,
y+1
1-y
>0

解得-1<y<1,故函数的值域为(-1,1). …(16分)
点评:本题考查函数的奇偶性与单调性的应用,反函数的应用,考查分析问题解决问题的能力.
练习册系列答案
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已知二次函数f(x)=ax2-bx+1(a,b为常数).
(1)若a=1,且函数f(x)在区间(-3,4)上不是单调函数,求实数b的取值范围;
(2)若b=a+2,a∈Z,当函数f(x)在x∈(-2,-1)上恰有一个零点,求a的值;
(3)设函数g(x)=2 x2-2x,若对任意的实数x0,都有f(x0)∈{y|y=g(x)}成立,求实数a,b满足的条件.

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已知函数f[lg(x+1)]的定义域是(0、9],则f(x2)的定义域是(  )
A、[-1,1]
B、(-1,1)
C、[-1,0)∪(0,1]
D、(-1,0)∪(0,1)

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把一个周长为18cm的长方形围成一个圆柱.
(1)求圆柱的体积V(x)关于圆柱底面周长x的函数,并指出定义域;
(2)当圆柱的体积V(x)最大时,求圆柱的底面周长与高的比值.

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设A(-2,0),B(2,0),条件甲:“△ABC是以C为直角顶点的三角形”;条件乙:“C的坐标是方程x2+y2=4的解”,那么甲是乙的(  )
A、必要非充分条件
B、充要条件
C、充分非必要条件
D、既不充分也非必要条件

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科目:高中数学 来源: 题型:

方程lnx+2x=6的根属于区间(  )
A、(1,2)
B、(
5
2
,4)
C、(1,
7
4
D、(
7
4
5
2

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函数y=
cos3x
3x-3-x
的图象大致为(  )
A、
B、
C、
D、

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函数y=lg(-x2+2x+8)的单调递减区间为
 

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已知x>0,y>0,n>0,nx+y=1,
1
x
+
4
y
的最小值为16,则n的值为
 

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