Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0），过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，已知|AB|=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知t是一个负实数，P是直线y=t上一点，过P作直线l₁与l₂，使l₁⊥l₂，若对任意的点P，总存在这样的直线l₁与l₂，使l₁，l₂与抛物线均有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线的定义，结合|AB|=2，即可求得抛物线的方程；
（2）由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x²=y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可，
将直线PD的方程代入抛物线方程，得到△≥0，即可求t的取值范围．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|==
由题意知，抛物线的焦点F为（0，），则直线AB的方程为，即为，
联立抛物线方程得到整理得x²-2px-p²=0（p＞0），则
故|AB|==2，解得
故抛物线C的方程为：x²=y；
（2）由（1）知抛物线C的方程为：x²=y，如图示，设C（），P（0，t），
由题意知，只需使过点P（0，t）的抛物线x²=y的切线PC的垂线PD与该抛物线有交点即可，
将抛物线的方程改写为y=x²，求导得
所以过点C的切线PC的斜率是，即
由于直线PD与切线PC垂直，故直线PD的斜率为-
则直线PD的方程为：，即是
联立抛物线的方程y=x²得到
由于PD与该抛物线有交点，则，即（t＜0）
解得 ，则t的取值范围为{t|}．
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．