Question

（文）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）求实数b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=1时，求函数的值域．

Answer 1

解：（1）由f（e）=-ae+b+aelne=b，且f（e）=2，得b=2．
（2）由（1）可得f（x）=-ax+2+axlnx．从而f′（x）=alnx．因为a≠0，故：
①当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1；　
②当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1．
综上，当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（3）当a=1时，f（x）=-x+2+xlnx，f′（x）=lnx．
由（2）可得，当x在区间内变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x		（）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	2-	单调递减	极小值1	单调递增	2

又2-＜2，所以函数f（x）（x∈）的值域为[1，2]．
分析：（1）根据已知中f（x）=-ax+b+axlnx，求出f（e）=b，且f（e）=2，得b=2．
（2）求出导数f'（x）=alnx，利用导数与单调性的关系，分a＞0，a＜0两种情形求解．
（3）当a=1时，f′（x）=ln，，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数f（x）的值域．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，属于中档、常规题．在（2）中涉及到了分类讨论的思想方法．