Question

【题目】（10分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）证明：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形

试题解析：（1）由该四面体的三视图可知，

BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，

BD=DC=2，AD=1，

∴AD⊥平面BDC．

∴四面体体积

V=××2×2×1=

（2）证明：∵BC∥平面EFGH，

平面EFGH∩平面BDC=FG，

平面EFGH∩平面ABC=EH，

∴BC∥FG，BC∥EH．∴FG∥EH．

同理EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG．

∴四边形EFGH是平行四边形．

又∵AD⊥平面BDC，

∴AD⊥BC．∴EF⊥FG．

∴四边形EFGH是矩形．