Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，f（x）=e^-x-ex²+a，则函数f（x）在x=1处的切线方程为（　　）

A．x+y=0

B．ex-y+1-e=0

C．ex+y-1-e=0

D．x-y=0

Answer 1

分析：利用f（0）=0先求出a的值，设x∈（0，+∞），根据已知条件求出f（-x），再利用奇函数，求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．

解答：解：由题意得，f（0）=1-0+a=0，解得a=-1，
∴当x∈（-∞，0]时，f（x）=e^-x-ex²-1，
设x∈（0，+∞），则-x＜0，f（-x）=e^x-ex²-1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-e^x+ex²+1，此时x∈（0，+∞），
∴f′（x）=-e^x+2ex，
∴f^′（1）=e，
把x=1代入f（x）=-e^x+ex²+1得，f（1）=1，则切点为（1，1），
∴所求的切线方程为：y-1=e（x-1），化简得ex-y-e+1=0，
故选B．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，奇函数性质的利用，以及函数解析式，求函数在某范围内的解析式，一般先将自变量设在该范围内，再想法转化到已知范围上去，考查了转化思想．