Question

在△ABC中，|

AB

|=1，|

AC

|=2，|

BC

|∈[

3

，

5

]，记

AB

与

AC

的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理求得cosθ=

5-a2

4

，结合 a∈[

3

，

5

]，可得 0≤cosθ≤

1

2

，从而求得θ的取值范围．
（Ⅱ）化简函数的解析式为 2sin（2θ-

π

3

）+1，根据θ∈[

π

3

，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理知：cosθ=

1+4-a2

2×1×2

=

5-a2

4

，又 a∈[

3

，

5

]，
所以 0≤cosθ≤

1

2

，又 θ∈（0，π），可得θ∈[

π

3

，

π

2

]，即为θ的取值范围．
（Ⅱ）函数f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ=2sin（2θ-

π

3

）+1，
因为θ∈[

π

3

，

π

2

]，可得 2θ-

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，sin（2θ-

π

3

）∈[

3

2

，1]，
因此，函数的最大值为2+1=3，最小值为

3

+1．

点评：本题主要考查余弦定理、三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．