【题目】已知过抛物线 的焦点,斜率为 的直线交抛物线于 , ( )两点,且 .
(1)求该抛物线的方程;
(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点,若 ,求 的值.
【答案】
(1)解:设直线AB方程为:y=
联立 得
由韦达定理得:
由抛物线定理知:
|AB|=|AF|+|BF|=
得: 即p=4
∴抛物线方程为:
(2)解:由p=4,方程: 化为
解得x1=1, x2=4.即A(1,-2 ) B(4,4 )
由 + (4,4 )
知 代入抛物线方程
.
解得: =0或 =2
【解析】本题主要考查有关抛物线的标准方程和简单的性质问题。第一小题,主要是根据弦长问题求解抛物线的标准方程,先根据题意求出抛物线的交点坐标,进而写出过焦点的直线方程,然后和抛物线方程进行联立,利用弦长公式即可求得p,求出抛物线的标准方程。第二小题主要是抛物线性质的应用,根据第一小题中求出点A,B的坐标,根据向量的关系式 O C = O A + λ O B 求出点C的坐标,代入抛物线方程即可求解。
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【题目】某校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和杨老师负责.每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和杨老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学,且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或杨老师所发活动通知信息的概率为
A. B. C. D.
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【题目】如图1,在高为2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,过A、B分别作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为E、F.已知DE=1,将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起,得空间几何体ADE﹣BCF,如图2.
(Ⅰ)若AF⊥BD,证明:△BDE为直角三角形;
(Ⅱ)若DE∥CF, ,求平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值.
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【题目】某学生对函数的性质进行研究,得出如下的结论:
①函数在上单调递增,在上单调递减;
②点是函数图像的一个对称中心;
③存在常数,使对一切实数均成立;
④函数图像关于直线对称.其中正确的结论是__________.
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【题目】一张坐标纸上涂着圆E: 及点P(1,0),折叠此纸片,使P与圆周上某点P'重合,每次折叠都会留下折痕,设折痕与直线EP'交于点M .
(1)求 的轨迹 的方程;
(2)直线 与C的两个不同交点为A , B , 且l与以EP为直径的圆相切,若 ,求△ABO的面积的取值范围.
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【题目】以下四个命题: ①已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)的值为 ;
②设a、b∈R,则“log2a>log2b”是“2a﹣b>1”的充分不必要条件;
③函数f(x)= ﹣( )x的零点个数为1;
④命题p:n∈N,3n≥n2+1,则¬p为n∈N,3n≤n2+1.
其中真命题的序号为 .
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【题目】如图,在直角梯形SABC中,∠B=∠C= ,D为边SC上的点,且AD⊥SC,现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置(折起后点S记为P),并使得PA⊥AB.
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)已知PD=AD,PD+AD+DC=6,G是AD的中点,当线段PB取得最小值时,则在平面PBC上是否存在点F,使得FG⊥平面PBC?若存在,确定点F的位置,若不存在,请说明理由.
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