Question

已知离心率为

1

2

的椭圆C的中心在坐标原点O，一焦点坐标为（1，0），圆O的方程为x²+y²=7．
（1）求椭圆C的方程，并证明椭圆C在圆O内；
（2）过椭圆C上的动点P作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与圆O相交于点A，C，l₂与圆O相交于点B，D（如图），求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用离心率为

1

2

的椭圆的焦点坐标为（1，0），即可求椭圆C的方程；设P（x₀，y₀）是椭圆C上的任意一点，到圆心的距离小于半径即可知椭圆C在圆O内
（2）设椭圆C上的动点P（x₀，y₀）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂．则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，AC=2

7-d12

，BD=2

7- d 2 2

，求出t=

d

2 1

+

d

2 2

的最小值，即可求得四边形ABCD的面积的最大值．

解答：解：（1）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则c=

a2-b2

=1，

c

a

=

1

2

，解得a=2，b=

3

，故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
证明：设P（x₀，y₀）是椭圆C上的任意一点．
则1=

x02

4

+

y 2 0

3

≥

x 2 0

4

+

y 2 0

4

，

x

2 0

+

y

2 0

≤4＜7，故椭圆C在圆O内

（2）如图，设椭圆C上的动点P（x₀，y₀）到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂．
则

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，AC=2

7-d12

，BD=2

7- d 2 2

由l₁⊥l₂，得t=

d

2 1

+

d

2 2

=OP2=

x

2 0

+

y

2 0

=

x

2 0

+3(1-

x 2 0

4

)=3+

x 2 0

4

，0≤

x

2 0

≤4．
则t∈[3，4]，四边形ABCD的面积S=

1

2

AC×BD=2

7- d 2 1

7- d 2 2

≤(7-

d

2 1

)+(7-

d

2 2

)=14-t≤11
当且仅当

d

2 1

=

d

2 2

，t=3时，上式取等号，此时x0=0，y0=±

3

，

d

1

=d2=

6

2

，
即点P（x₀，y₀）为P(0，±

3

)．直线l₁，l₂的斜率分别为1，-1或-1，1．
所以四边形ABCD的面积的最大值为11．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的位置关系，考查圆内接四边形的面积，解题的关键是利用基本不等式求解面积的最值，属于中档题．