Question

把公差d=2的等差数列{a_n}的各项依次插入等比数列{b_n}中，将{b_n}按原顺序分成1项，2项，4项，…，2^n-1项的各组，得到数列{c_n}：b₁，a₁，b₂，b₃，a₂，b₄，b₅，b₆，b₇，a₃，…，若{c_n}的前n项的和为S_n，且c₁=1，c₂=2，S₃=

13

4

，则S₁₀₀等于（　　）

• A．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )186]
• B．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )188]
• C．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )94]
• D．

  1

  3

  [130-(

  1

  2

  )98]

Answer 1

分析：由已知我们可分析出{c_n}的前100项中，含等差数列{a_n}的前6项，等比数列{b_n}的前94项，分别利用等差、等比数列的前n和公式可得答案．

解答：解：由题意得{c_n}是a_n前（包括a_n）共有（1+1）+（2+1）+（4+1）+…+（2^n-1+1）=2ⁿ+n-1项
∵n=6时，2ⁿ+n-1=69＜100，n=7时，2ⁿ+n-1=134＞100，
故{c_n}的前100项中，含等差数列{a_n}的前6项，等比数列{b_n}的前94项，
由已知中c₁=1，c₂=2，S₃=

13

4

，可得
等差数列{a_n}的公差d=2，首项a₁=c₂=2，
等比数列{b_n}的首项b₁=c₁=1，b₂=S₃-c₁-c₂=

1

4

，即公比q=

1

4

，
∴S₁₀₀=（2+4+…+12）+（1+

1

4

+…+

1

493

）=

1

3

[130-(

1

2

)186]
故选A

点评：本题考查的知识点是等差数列和等比数列的前n项和公式，其中第一步分析{c_n}的前100项中，含等差数列{a_n}的前6项，等比数列{b_n}的前94项，难度较大．