Question

如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(

x+y

2

)≤

f(x)+f(y)

2

，则称这个函数是下凸函数，下列函数
（1）f（x）=2^x；
（2）f（x）=x³；
（3）f（x）=log₂x（x＞0）；
（4）f(x)=

x， x＜0 2x， x≥0

中是下凸函数的有（　　）

A．（1），（2）

B．（2），（3）

C．（3），（4）

D．（1），（4）

Answer 1

分析：根据函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(

x+y

2

)≤

f(x)+f(y)

2

，可得f″（x）≥0，再对四个函数分别求导，即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足f(

x+y

2

)≤

f(x)+f(y)

2

，
∴f″（x）≥0
（1）f（x）=2^x，则f′（x）=2^x•ln2，∴f″（x）=2^x•ln²2＞0，∴函数是下凸函数；
（2）f（x）=x³，则f′（x）=3x²，∴f″（x）=6x，∴函数不是下凸函数；
（3）f（x）=log₂x，则f′（x）=

1

xln2

，∴f″（x）=-

1

x2ln2

＜0，∴函数不是下凸函数；
（4）x＜0时，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0时，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函数是下凸函数
故选D．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．