Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ ，其中a为大于零的常数．．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（3）求证：对于任意的n∈N* ， 且n＞1时，都有lnn＞ + +…+ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，f′（x）= ﹣ = ，

∵a为大于零的常数，

若使函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，

则使ax﹣1≥0在区间[1，+∞）上恒成立，

即a﹣1≥0，

故a≥1

（2）解：当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，

这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）min=f（1）=0．

当0＜a≤ ，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，

这时f（x）在[1，2]上为减函数∴f（x）min=f（2）=ln2﹣ ，

当 ＜a＜1时，令f′（x）=0，得x= ∈（1，2）．

又∵对于x∈[1， ）有f′（x）＜0，

对于x∈（ ，2]有f′（x）＞0，

∴f（x）min=f（ ）=ln +1﹣ ，

综上，f（x）在[1，2]上的最小值为

①当0＜a≤ 时，f（x）min=ln2﹣ ；

②当 .＜a＜1时，f（x）min=ln +1﹣ ．

③当a≥1时，f（x）min=0

（3）证明：由（1）知函数f（x）= ﹣1+lnx在[1，+∞）上为增函数，

当n＞1时，∵ ＞1，∴f（ ）＞f（1），

即lnn﹣ln（n﹣1）＞ ，对于n∈N*且n＞1恒成立．

lnn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]++[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]＞ + +…+ ，

∴对于n∈N*，且n＞1时，lnn＞ + +…+ 恒成立

【解析】（1）求导，将函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增化为导数恒不小于0，从而求a的取值范围；（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．（3）由（1）知函数f（x）= ﹣1+lnx在[1，+∞）上为增函数，构造n与n﹣1的递推关系，可利用叠加法求出所需结论
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．