Question

21.在XOY平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）…P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P_n位于函数y＝2000（）^x（0＜a＜10＝的图象上，且点P_n，点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形.

（1）求点P_n的纵坐标b_n的表达式；

（2）若对每个自然数n，以b_n，b_n－1，b_n－2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

 

（3）设B_n=b₁b₂…b_n（nN）.若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列的最大项的项数.

Answer 1

21.解：

（1）由题意，a_n=n+，

∴b_n=.　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（2）∵函数y=（0<a<10）递减，

∴对每个自然数n，有b_n>b_n+1>b_n+2.

则以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2+b_n+1>b_n，

 

即－1>0.　　　　　　　　　　　　　　　　

解得a<－5（1+）或a>5（），

∴5（－1）<a<10.　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（3）∵5（－1）<a<10，

 

∴a=7，b_n=.　                           

 

数列｛b_n｝是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2，B_n=b_nB_n－1.

 

于是当b_n≥1时，B_n≥B_n－1，当b_n＜1时，B_n＜B_n－1.

 

因此，数列｛B_n｝的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n－1<1.

 

由b_n=≥1，得n≤20.8.

 

∴n=20.