Question

已知x＝4是函数f(x)＝alnx＋x²－12x＋11的一个极值点．

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵(x)＝＋2x－12， 　　∴(4)＝＋8－12＝0 　　因此a＝16　　3分 　　(2)由(1)知， 　　f(x)＝16lnx＋x2－12x＋11，x∈(0，＋∞) 　　(x)＝　　5分 　　当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，(x)＞0 　　当x∈(2，4)时，(x)＜0　　7分 　　所以f(x)的单调增区间是(0，2)，(4，＋∞) 　　f(x)的单凋减区间是(2，4)　　8分 　　(3)由(2)知，f(x)在(0，2)内单调增加，在(2，4)内单调减少，在(4，＋∞)上单调增加，且当x＝2或x＝4时，(x)＝0 　　所以f(x)的极大值为f(2)＝16ln2－9，极小值为f(4)＝32ln2－21 　　因此f(16)＝16ln16＋162－12×16＋11＞16ln2－9＝f(2) 　　f(e－2)＜－32＋11＝－21＜f(4) 　　所以在f(x)的三个单调区间(0，2)，(2，4)，(4，＋∞)内，直线y＝b与y＝f(x)的图象各有一个交点， 　　当且仅当f(4)＜b＜f(2)成立　　13分 　　因此，b的取值范围为(32 ln2－21，16ln2－9)　　14分