Question

已知矩阵A=[

x 3 2 y

]，α=[

4   -1

]，且Aα=[

9   4

]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量

α1

，

α2

；
（3）计算A²⁰α．

Answer 1

分析：（1）直接根据矩阵与列向量的乘法法则建立等式，解之即可求出实数x，y的值；
（2）令矩阵M的特征多项式等于0，即可求得矩阵M的特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；
（3）将向量

α

用两特征向量线性表示，最后根据公式A²⁰α=A²⁰（

α1

+

α2

）=λ₁²⁰

α1

+λ₂²⁰

α2

进行求解即可．

解答：解：（1）∵A=[

x 3 2 y

]，α=[

4   -1

]，Aα=[

9   4

]，
∴Aα=[

x 3 2 y

][

4   -1

]=[

4x-3   8-y

]=[

9   4

]，解得：

x=3 y=4

，
∴实数x，y的值分别为3，4；
（2）矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f（λ）=λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为6或1，
当λ=6时 由二元一次方程

3x-3y=0 -2x+2y=0

得x-y=0，令x=1，则y=1，
所以特征值λ=6对应的特征向量为

α1

=

1   1

，
当λ=1时 由二元一次方程

-2x-3y=0 -2x-3y=0

得2x+3y=0，
令x=3，则y=-2，
所以特征值λ=1对应的特征向量为

α2

=

3   -2

；
（3）令[

4   -1

]=m

1   1

+n

3   -2

，
∴

m+3n=4 m-2n=-1

，解得：

m=1 n=1

，
故A²⁰α=6²⁰

α1

+1²⁰

α2

=

620+3   620-2

．

点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵M的特征值及特征向量，关键是求其行列式，正确写出矩阵M的特征多项式，同时考查了矩阵的应用，属于中档题．