Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．
（1）求证：BE⊥平面ADE；
（2）求BD和平面CDE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，利用面面垂直的性质定理即可证明BE⊥平面ADE．
（2）在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行线交于F，由BC⊥EC，CF∩BC=C，可得EC⊥平面BCF．再过B作BG⊥CF于G，可得EC⊥BG．连接DG，可得BG⊥平面CDE；故∠BDG为BD和平面CDE所成的角．利用直角三角形的边角关系求出BG，BD即可．
解答：证明：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，∴∠AED=45°，
同理∠CEB=45°，于是∠AEB=90°，∴BE⊥AE．
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE．
（2）在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行线交于F，
∵BC⊥EC，CF∩BC=C，∴EC⊥平面BCF．
再过B作BG⊥CF于G，可得EC⊥BG．
连接DG，可得BG⊥平面CDE； 
∴∠BDG为BD和平面CDE所成的角．
过D作DH⊥AE交AE于点H，连接CH，BH．
在△DHC中，△DHB中，可得，又DE=EC=1，因此∠DCE=∠CDF=30°，
∵CF⊥DF，∴．
由题意得，∴，
因此，
∴BD和平面CDE所成的角的正弦值为．
点评：熟练掌握线面、面面垂直的判定与性质定理、线面角的定义、直角三角形的边角关系是解题的关键．