【题目】已知四棱锥,四边形
是正方形,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若为
的中点,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)由可得
,即
,由
为正方形,可得
,从而得
平面
,由面面垂直的判定定理可得平面
平面
;(2)设
的中点为
,∵
,∴
,面面垂直的性质可得
平面
,在平面
内,过
作直线
,则
两两垂直,以
为坐标原点,
所在直线为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)∵,
∴,即
,
又∵为正方形,∴
,
∵,
∴平面
,∵
平面
,∴平面
平面
;
(2)
设的中点为
,∵
,∴
,
由(1)可知平面平面
,且平面
平面
,
∴平面
,
在平面内,过
作直线
,则
两两垂直.
以为坐标原点,
所在直线为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,
则,
∴,
设平面的法向量为
,
则,
,即
,取
,
设平面的法向量为
,
则,
,即
,取
,
,由图可知,二面角
的余弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】下列函数中与f(x)=x是同一函数的有( )
①y=②y=
③y=
④y=
⑤f(t)=t⑥g(x)=x
A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个
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【题目】已知f(xy)=f(x)+f(y).
(1) 若x,y∈R,求f(1),f(-1)的值; (2)若x,y∈R,判断y=f(x)的奇偶性;
(3)若函数f(x)在其定义域(0,+∞)上是增函数,f(2)=1,f(x)+f(x-2)≤3,求x的取值范围。
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【题目】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
5公里以内(含5公里),票价2元;
5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意.
(1)写出票价与里程之间的函数解析式;
(2)根据(1)写出的函数解析式试画出该函数的图象.
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【题目】两个随机变量x,y的取值表为
x | 0 | 1 | 3 | 4 |
y | 2.2 | 4.3 | 4.8 | 6.7 |
若x,y具有线性相关关系,且 =
x+2.6,则下列四个结论错误的是( )
A.x与y是正相关
B.当x=6时,y的估计值为8.3
C.x每增加一个单位,y增加0.95个单位
D.样本点(3,4.8)的残差为0.56
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【题目】如图,四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,A1A=AB=2,E为棱AA1的中点.
(1)证明:B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值.
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【题目】已知点与点
的距离比它的直线
的距离小2.
(1)求点的轨迹方程;
(2)是点
轨迹上互相垂直的两条弦,问:直线
是否经过
轴上一定点,若经过,求出该点坐标;若不经过,说明理由.
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【题目】已知函数的定义域为
,若
在
上为增函数,则称
为“一阶比增函数”.
(1)若是“一阶比增函数”,求实数a的取值范围。
(2)若是“一阶比增函数”,求证:对任意
,
,总有
;
(3)若是“一阶比增函数”,且
有零点,求证:关于x的不等式
有解.
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【题目】已知椭圆:
的上下两个焦点分别为
,
,过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点,
的面积为
,椭圆
的离心力为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,直线
:
与
轴交于点
,与椭圆
交于
,
两个不同的点,若存在实数
,使得
,求
的取值范围.
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