Question

【题目】把1至n(n>1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中每相邻两项的和为平方数.则n的最小值为______.

Answer 1

【答案】15

【解析】

例如,排出的一个数列为8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9记这n个连续正整数的集合为M={1,2,…,n}.

由于n>1,则集合M中必有2,而2+7=9,于是,n≥7.

当n=7时,从1至7这七个数可以搭配成满足条件的三个数段:

(1,3,6),(2,7),(4,5),

但它们不能连接成一个7项的数列,故应增加后续的数,增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6),增加9可使得第二段扩充成(2,7,9),但新的三段也不能连接,还需增加新数,即n≥10.

而之前的数若与8、9、10邻接,只有8+1=9,9+7=16,10+6=16这三段扩充为

(8,1,3,6,10),(2,7,9),(4,5),仍旧不能连接,应当借助新的平方数25,从1

至10这十个数能搭配成和为25的最小数是15,则n≥15.

当M={1,2,…,15}时,可排出上面的情形8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9.