Question

已知函数和函数g（x）=lnx，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）当时，若f（x）在[1，2]上的最大值是f（2），求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，判断F（x）在其定义域内是否有极值，并予以证明；
（3）对任意的，若F（x）在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）时，．
①当a=0时，，不合题意；
②当a＜0时，在上递增，在上递减，而，故不合题意；
③当a＞0时，在上递减，在上递增，
f（x）在[1，2]上的最大值是max{f（1），f（2）}=f（2），所以f（1）≤f（2），即，所以a≥1．
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（2）a=1时，定义域为（0，+∞），．
①当cosα≠0时，F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上单调递增，从而F（x）在其定义域内没有极值；
②当cosα=0时，，令F′（x）=0有x=1，但是x∈（0，1）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）也单调递增，所以F（x）在其定义域内也没有极值．
综上，F（x）在其定义域内没有极值．
（3）据题意可知，令，即方程ax²-2xsin²α+1=0在（0，+∞）上恒有两个不相等的实数根．即恒成立，因为，，所以．
分析：（1）时求出函数的解析式，利用导数研究出函数在[1，2]上的单调性，及最大值是f（2），建立不等式解出实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求出函数的解析式，函数的定义域，利用导数研究函数的极值；
（3）对任意的，若F（x）在其定义域内既有极大值又有极小值，可得出其导数在定义域上恒有两个不同的根，解出函数的导数，根据其形式选择合适的方法将导数为0有两个不同根转化为关于参数的不等式，求解．
点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，要转化为导数方程有两个不同根来求解，本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．