Question

7．若关于x的方程f（x）=x有实数解x₀，则称x₀是函数f（x）的“不动点”：已知函数f（x）=x²+ax+1在（0，+∞）上没有不动点，则实数a取值范围是（-1，+∞）．

Answer 1

分析 首先，根据题意，得到方程x²+ax+1=x在（0，+∞）上没有实根，然后，分情况进行讨论完成．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+1在（0，+∞）上没有不动点，
∴方程x²+ax+1=x在（0，+∞）上没有实根，
即：x²+（a-1）x+1=0，
①当方程无实根时，
此时△=（a-1）²-4＜0，
∴-1＜a＜3，
②当方程有两个相等的非正实根时，
△=（a-1）²-4=0，且$-\frac{a-1}{2}＜0$，
此时a=3，
③当方程有两个不等的负实根时，
满足$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-1）^{2}-1＞0}\\{1-a＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞3，
∴a∈（-1，+∞）．
故答案为：（-1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用．解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．