精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

时值5月,荔枝上市.某市水果市场由历年的市场行情得知,从5月10日起的60天内,荔枝的售价S(t)(单位:元/kg)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图1所示的折线ABCD表示,每天的销售量M(t)(单位:吨)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图2所示的抛物线段OEF表示,其中O为坐标原点,E是抛物线的顶点.
(1)请分别写出S(t),M(t)关于t的函数关系式;
(2)在这60天内,该水果市场哪天的销售额最大?

解:(1)①由图1可知,当0≤t≤10时,S(t)=10
②当10<t≤40时,设S(t)=a1t+b1,因为函数S(t)的图象过点B(10,10),C(40,5)
所以,解之得
∴当10<t≤40时,S(t)=t+
③当40<t≤60时,设S(t)=a2t+b2,因为函数S(t)的图象过点C(40,5),C(60,6),
所以用类似②的方法可得,此时S(t)=t+3,
综上所述,S(t)=
由图2可知,函数M(t)在x=40时取得最大值,故设M(t)=a(t-40)2+10
又函数M(t)的图象过点O(0,0),所以a(-40)2+10=0,解之得a=-
所以M(t)=-(t-40)2+10=-t2+t,0≤t≤160,t∈N
(2)在这60天内,设该水果市场的销售额与天天数的函数关系为P(t),则
①当0≤t≤10,t∈N时,P(t)=1000S(t)M(t)=10000(-t2+t)
可得:当t=10时,P(t)max=P(10)=43750.
②当10<t≤40,t∈N时,P(t)=1000S(t)M(t)=1000(-t+)(-t2+t)=(t3-150t2+5600t)
∵(t3-150t2+5600t)′=3t2-300t+5600=3(t-50)2-1900>0在区间(10,24]上成立,
且(t3-150t2+5600t)′=3t2-300t+5600=3(t-50)2-1900<0在区间[25,40]上成立
∴P(t)在区间(10,24]上是单调增函数,在区间[25,40]上是单调减函数
当10<t≤40,t∈N时,P(t)max应该是P(24)和P(25)中的较大者
而P(24)=64400,P(25)≈64453.13,因此P(t)max=P(25)
③当40<t≤60,t∈N时,P(t)=1000S(t)M(t)=1000(t+3)(-t2+t)=(-t3+20t2+4800t)
用类似②的方法,可得P(t)在区间(40,47]上是单调增函数,在区间[48,60]上是单调减函数.
而P(47)≈51861.56>P(48)=51840,所以此时P(t)max=P(47)
综上所述,P(t)的最大值为P(47)≈51861.56
所以在这60天内,该水果市场第47天的销售额最大.
分析:(1)根据图1,发现当0≤t≤10时,函数S(t)=10,而当10<t≤40时和当40<t≤60时,函数S(t)的表达式都是一次函数,可以先设出它们的一次解析式,利用图象上的已知点求出一次项系数和常数项,可以得到函数S(t)的函数关系式.对于M(t),根据它的图象是开口向下的抛物线,经过原点且关于直线t=40对称,结合顶点坐标,不难用待定系数的方法求出M(t)关于t的函数关系式;
(2)根据(1)的函数S(t)的分段函数关系式,分①当0≤t≤10时,②当10<t≤40时,③当40<t≤60时,分别得到P(t)关于t的函数关系式,利用导数工具讨论各段上的单调性,从而得出函数P(t)在各段上的最大值,再将各个最大值进行比较,从而得出当t=47时,水果市场的销售额最大.
点评:本题以一个实际问题为例,考查了分段函数的单调性与最值的知识点,计算量很大,是一道难题.在解题过程中用到了分类讨论与转化化归的思想,综合了函数多种性质加以解决.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

时值5月,荔枝上市.某市水果市场由历年的市场行情得知,从5月10日起的60天内,荔枝的售价S(t)(单位:元/kg)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图1所示的折线ABCD表示,每天的销售量M(t)(单位:吨)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图2所示的抛物线段OEF表示,其中O为坐标原点,E是抛物线的顶点.
(1)请分别写出S(t),M(t)关于t的函数关系式;
(2)在这60天内,该水果市场哪天的销售额最大?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010年江苏省南通市通州区高三4月模拟数学试卷(解析版) 题型:解答题

时值5月,荔枝上市.某市水果市场由历年的市场行情得知,从5月10日起的60天内,荔枝的售价S(t)(单位:元/kg)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图1所示的折线ABCD表示,每天的销售量M(t)(单位:吨)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图2所示的抛物线段OEF表示,其中O为坐标原点,E是抛物线的顶点.
(1)请分别写出S(t),M(t)关于t的函数关系式;
(2)在这60天内,该水果市场哪天的销售额最大?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分16分)

时值5月,荔枝上市.某市水果市场由历年的市场行情得知,从5月10日起的60天内,荔枝的售价S(t)(单位:元/kg)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图1所示的折线ABCD表示,每天的销售量M(t)(单位:吨)与上市时间t(单位:天)的关系大致可用如图2所示的抛物线段OEF表示,其中O为坐标原点,E是抛物线的顶点.

(1)请分别写出S(t),M(t)关于t的函数关系式;

(2)在这60天内,该水果市场哪天的销售额最大?

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案