Question

已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且⊥，记点P的轨迹为C₁.

(1)求曲线C₁的方程.

(2)设直线l与x轴交于点A，且=(≠0).试判断直线PB与曲线C₁的位置关系，并证明你的结论.

(3)已知圆C₂：x²+(y-a)²=2,若C₁、C₂在交点处的切线互相垂直，求a的值.

Answer 1

解：(1)设P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).

    ∵⊥,∴·=0.

    ∴x²-2y=0.

    ∴点P的轨迹方程为x²=2y(x≠0).

    (2)直线PB与曲线C₁相切，设点P的坐标为(x₀,y₀)，点A的坐标为(x₀,0).

    ∵=,∴=(0,-y₀).

    ∴点B的坐标为(0,-y₀).

    ∵≠0,∴直线PB的斜率为k=.

    ∵x₀²=2y₀,∴k=x₀.

    ∴直线PB的方程为y=x₀x-y₀.

    代入x²=2y,得x²-2x₀x+2y₀=0.

    ∵Δ=4x₀²-8y₀=0,

    ∴直线PB与曲线C₁相切.

     (3)不妨设C₁、C₂的一个交点为N(x₁,y₁),C₁的解析式即为y=x²，则在C₁上N处切线的斜率为k′=x₁，圆C₂过N点的半径的斜率为k=.                      ①

    又∵点N(x₁,y₁)在C₁上，所以y₁=x₁².                                   ②

    由①②得y₁=-a,x₁²=-2a,

    ∵N(x₁,y₁)在圆C₂上，

    ∴-2a+4a²=2.

    ∴a=-或a=1.

    ∵y₁＞0,∴a＜0.

    ∴a=-.