Question

（2012•朝阳区一模）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．
（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；

区间	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
人数	50	a	350	300	b

（Ⅱ）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（I）根据频数=频率×样本容量，频率=

频率

组距

×组距，可求出a与b的值；
（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，根据40人中优秀的比例等于1000人中优秀的比例，建立等式，解之即可；
（Ⅲ）X的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）依题意，a=0.04×5×1000=200，b=0.02×5×1000=100．…（4分）
（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x，则

x

40

=

350+300+100

1000

，解得：x=30，
即其中成绩为优秀的学生人数为30名．…（7分）
（Ⅲ）依题意，X的取值为0，1，2，P(X=0)=

C 2 10

C 2 40

=

3

52

，P(X=1)=

C 1 10 C 1 30

C 2 40

=

5

13

，P(X=2)=

C 2 30

C 2 40

=

29

52

，
所以X的分布列为

X	0	1	2
P	3 52	5 13	29 52

EX=0×

3

52

+1×

5

13

+2×

29

52

=

3

2

，所以X的数学期望为

3

2

．…（13分）

点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力，属于基础题．