Question

17．设a＞0，已知函数$f（x）=\sqrt{x}-ln（x+a）$（x＞0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上是否有两个零点，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）法一：假设2个零点，推出矛盾即可；法二：通过讨论a的范围，判断即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{1}{x+a}$，----------------------------------------------------------------（1分）
$f'（x）＞0?x+a＞2\sqrt{x}?{x^2}+2（a-2）x+{a^2}＞0$，
f'（x）＜0?x²+2（a-2）x+a²＜0，
设g（x）=x²+2（a-2）x+a²，则△=16（1-a），
①当a≥1时，△≤0，g（x）≥0，即f'（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；-----------------------------------------------------------------（3分）
②当0＜a＜1时，△＞0，
由g（x）=0得${x_1}=\frac{{4-2a-4\sqrt{1-a}}}{2}=2-a-2\sqrt{1-a}$，${x_2}=2-a+2\sqrt{1-a}$，-----------------------------------------------------------------------------（4分）
可知0＜x₁＜x₂，由g（x）的图象得：f（x）在$（0，\;2-a-2\sqrt{1-a}）$和$（2-a+2\sqrt{1-a}，\;+∞）$上单调递增；--------------------（5分）
f（x）在$（2-a-2\sqrt{1-a}$，$2-a+2\sqrt{1-a}）$上单调递减．---------------------------------（6分）
（Ⅱ）解法1：函数f（x）在（0，+∞）上不存在两个零点----------------------------------------------（7分）
假设函数f（x）有两个零点，由（Ⅰ）知，0＜a＜1，
因为f（0）=-lna＞0，则f（x₂）＜0，即$\sqrt{x_2}＜ln（{x_2}+a）$，
由f'（x₂）=0知${x_2}+a=2\sqrt{x_2}$，所以$\sqrt{x_2}＜ln（2\sqrt{x_2}）$，
设$\sqrt{x_2}=t$，则t＜ln（2t）（*），-----------------------------------------------------------------（9分）
由${x_2}=2-a+2\sqrt{1-a}∈（1，\;4）$，得t∈（1，2），
设h（t）=t-ln（2t），得$h'（t）=1-\frac{1}{t}＞0$，-------------------------------------------------（10分）
所以h（t）在（1，2）递增，得h（t）＞h（1）=1-ln2＞0，即t＞ln（2t），
这与（*）式矛盾，---------------------------------------------------------------------------------（11分）
所以上假设不成立，即函数f（x）没有两个零点．------------------------------------------（12分）
解法2：函数f（x）在（0，+∞）上不存在两个零点；-------------------------------------------------（7分）
由（Ⅰ）知当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在（0，+∞）上至多有一个零点；-----------------------------------------------------（8分）
当0＜a＜1时，∵f（0）=-lna＞0，
由（Ⅰ）知当x=x₂时，f（x）有极小值，$f{（x）_{极小}}=f（{x_2}）=\sqrt{x_2}-ln（{x_2}+a）$=$\sqrt{1-a}+1-ln[2（\sqrt{1-a}+1）]$，---------------------（9分）
令$\sqrt{1-a}+1=t$，则1＜t＜2，f（x）_极小=t-ln（2t），
设h（t）=t-ln（2t），得$h'（t）=1-\frac{1}{t}＞0$，------------------------------------------------------（10分）
∴h（t）在（1，2）单调递增，得h（t）＞h（1）=1-ln2＞0，即f（x）_极小＞0，
可知当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，+∞）不存在零点；
综上可得函数f（x）在（0，+∞）上不存在两个零点．-------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．