Question

【题目】在如图所示的五面体中，四边形是矩形，平面平面，且, ，， ，点在上.

求证：（1）平面

（2）平面 平面

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

(1)先证明平面平面,进而由面面平行可得线面平行；

(2)利用勾股定理的逆定理证明直线,由面面垂直的性质得到平面,进而可得平面，从而可得平面 平面.

证明：（1）连结DM

∵AB∥EF，AB=EF，M是EF的中点，

∴AB∥EM且ABEM,四边形ABEM是平行四边形，

∴AM∥BE，又∵AM平面BCE，BE平面BCE，

∴AM∥平面BCE．∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，又BC平面BCE，AD平面BCE，∴AD∥平面BCE，

又AD平面ADM，AM平面ADM，AD∩AM=A，

∴平面ADM∥平面BCE，

又DN平面ADM，

∴DN∥平面BCE（2）由（1）知AM=BE=2，

∵AF=BE=2，MF=EF=

∴AM2+AF2=MF2，∴AM⊥AF．

∵平面ADF⊥平面ABEF，平面ADF∩平面ABEF=AF，AM平面ABEF，

∴AM⊥平面DAF，∵DA平面DAF，

∴AM⊥DA，

又∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

∵AB平面ABEF，AM平面ABEF，AB∩AM=A，

∴AD⊥平面ABEF，又AD平面ABCD，

∴平面ABEF⊥平面ABCD