Question

设a∈R，向量m=（a，1），函数y=f（x）的图象经过坐标原点，f′（x）是函数f（x）的导函数．已知A（-1，f′（-1）），B（x，x²），f′（x）=

AB

•m．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=

a

2

(x+1)2-

x2

4

在区间[-1，1]上有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a=2，设数列{a_n}满足a₁=3，4a_n=2f'（a_n-1）-3（n=2，3，4，…）．求证：an＞22n-1-1（n∈N*）．

Answer 1

分析：（I）由题设知

AB

=(x+1，x2-f′(-1))，f′(x)=

AB

•m=a（x+1）+x²-f'（-1）．f′(-1)=

1

2

．由y=f（x）的图象过原点，知f(x)=

1

3

x3+

a

2

x2+(a-

1

2

)x．
（II）原方程整理为a=

2

3

x3+

1

2

x2-x．令g(x)=

2

3

x3+

1

2

x2-x，则g'（x）=2x²+x-1．再由函数的增减性知要使原方程在[-1，1]上有两个不相等的实数根，则须使-

7

24

＜a≤

1

6

．从而得到a的取值范围．
（III）a=2时，f′(x)=x2+2x+

3

2

．所以（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），令c_n=a_n+1，则c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．然后两边同时取对数，再结合题设条件进行求解．

解答：解：（I）∵

AB

=(x+1，x2-f′(-1))，
∴f′(x)=

AB

•m=a（x+1）+x²-f'（-1）．
令x=-1，则f'（-1）=a（x+1）+（-1）²-f'（-1），解得f′(-1)=

1

2

．
∴f′(x)=x2+ax+a-

1

2

．
∵y=f（x）的图象过原点，
∴f(x)=

1

3

x3+

a

2

x2+(a-

1

2

)x．（4分）
（II）原方程可以整理为a=

2

3

x3+

1

2

x2-x．
令g(x)=

2

3

x3+

1

2

x2-x，则g'（x）=2x²+x-1．
由g'（x）=0有x=-1或x=

1

2

，
且当x＜-1或x＞

1

2

时g'（x）＞0，当-1＜x＜

1

2

时g'（x）＜0．
∴在x∈[-1，1]时，g（x）在[-1，

1

2

]上是减函数，在[

1

2

，1]上是增函数，（8分）
∴在[-1，1]上g(x)min=g(

1

2

)=-

7

24

．
又g(-1)=

5

6

＞g(1)=

1

6

，
∴要使原方程在[-1，1]上有两个不相等的实数根，则须使-

7

24

＜a≤

1

6

．
即a的取值范围为(-

7

24

，   

1

6

]．（10分）
（III）a=2时，f′(x)=x2+2x+

3

2

．
∴4a_n=2（

a

2 n-1

+2an-1+

3

2

）-3，整理得2a_n=a_n-1²+2a_n-1（n≥2）．
变形得（a_n-1+1）²=2a_n+1＜2（a_n+1），
令c_n=a_n+1，则c₁=4，2c_n＞c_n-1²（n≥2）．
两边同取对数有log₂（2c_n）＞log₂c_n-1²，即1+log₂c_n＞2log₂c_n-1．
令d_n=log₂c_n，则d₁=2，且1+d_n＞2d_n-1，
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）（n≥2），
∴d_n-1＞2（d_n-1-1）＞2²（d_n-2-1）＞＞2^n-1（d₁-1）=2^n-1，
∴d_n＞1+2^n-1＞2^n-1，
∴c_n=2dn＞22n-1，
∴a_n＞22n-1-1（n≥2）．
当n=1时，a₁=3＞221-1-1=1，即不等式也成立，
∴a_n＞22n-1-1（n∈N*）．（14分）

点评：本题考查数列和不等式的合理运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．