Question

3．已知$\frac{1}{3}≤a≤1$，若函数f（x）=ax²-2x+1的定义域[1，3]．
（1）求f（x）在定义域上的最小值（用a表示）；
（2）记f（x）在定义域上的最大值为M（a），最小值N（a），求M（a）-N（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，由$\frac{1}{3}$≤a≤1，知1≤$\frac{1}{a}$≤3，结合函数的单调性判断即可；
（2）由a的符号进行分类讨论，能求出M（a）-N（a）的解析式，从而求出其最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，
∴f（x）在[1，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，3]递增，
∴f（x）在[1，3]上，所以$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{a}}）=1-\frac{1}{a}$；
（2）∵f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），
∴①当1≤$\frac{1}{a}$≤2，即$\frac{1}{2}$≤a≤1时，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$．
∴M（a）-N（a）=9a+$\frac{1}{a}$-6．
②当2＜$\frac{1}{a}$≤3，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$
∴M（a）-N（a）=a+$\frac{1}{a}$-2，
∴$M（a）-N（a）=\left\{{\begin{array}{l}{a+\frac{1}{a}-2，a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]}\\{9a+\frac{1}{a}-6，a∈（{\frac{1}{2}，1}]}\end{array}}\right.$，
当$a∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$时，最小值为$\frac{1}{2}$，
当$a∈（{\frac{1}{2}，1}]$时，最小值也是$\frac{1}{2}$，
综上，M（a）-N（a）的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．