Question

已知幂函数f（x）=x^a和对数函数g（x）=log_ax，其中a为不等于1的正数
（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；
（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[-2，-1]上总有|y|≤2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出α，据α＞0，幂函数单调递增．
（2）求出函数的解析式，根据0＜a＜1时，对数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式求出a的范围．

解答：解：（1）∵幂函数的图象过点（27，3），
∴3=27^α
∴a=

1

3

，
∴f(x)=x

1

3

故函数在（-∞，+∞）上是单调增函数
（2）y=g（x+3）=log_a（x+3）
∵0＜a＜1，
∴y=log_a（x+3）在区间[-2，-1]上单调递减
所以当x=-2时y取得最大值0，当x=-1时y取得最小值log_a2
∵|y|≤2
∴-log_a2≤2
a∈(0，

2

2

]

点评：本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数不等式．