Question

有n个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（　　）

• A．n!
• B．

  n(n-1)

  2

• C．

  n(n+1)

  2

• D．nⁿ

Answer 1

分析：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．

解答：解：假设每次分堆时都是分出1个球，
第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n-1个，则乘积为1×（n-1）=n-1；
第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n-2个，则乘积为1×（n-2）=n-2；
依此类推
最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；
设乘积的和为T_n，
则T_n=1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

．
故选：B．

点评：本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．