Question

若函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²+（a-1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，这是一道求函数的单调性的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，分类讨论解题一目了然，从而确定出a的范围．

解答：解：函数f（x）的导数f′（x）=x²-ax+a-1．
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
当a-1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意．
当a-1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（-∞，1）上为增函数，
在（1，a-1）内为减函数，在（a-1，+∞）上为增函数．
依题意应有
当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，
当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．
所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7．
所以a的取值范围是[5，7]．

点评：本题考查了利用导数就函数的单调区间，以及求函数的单调性的逆向思维问题．