Question

15．探究函数$f（x）=x+\frac{4}{x}，x∈（0，+∞）$的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在区间（0，2）上递减；
函数$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在区间[2，+∞）上递增．
当x=2时，y_最小=4
（1）用定义法证明：函数$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$在区间（0，2）递减．
（2）思考：函数$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＜0）$时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

分析 运用表格可得f（x）在区间[2，+∞）上递增．当x=2时，y_最小=4．
（1）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）可由f（x）为R上的奇函数，可得x＜0时，有最大值，且为-4，此时x=-2．

解答 解：由表格可得函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）在区间（0，2）上递减；
函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x＞0）在区间[2，+∞）上递增．
当x=2时，y_最小=4．
（1）用定义法证明：设0＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
由0＜x₁＜x₂＜2，可得x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
则函数$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＞0）$ 在区间（0，2）递减；
（2）函数$f（x）=x+\frac{4}{x}（x＜0）$ 时，有最大值-4；此时x=-2．
故答案为：[2，+∞），2，4．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的最值的求法，属于基础题．