Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD中点．
（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF；
（Ⅱ）高PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）欲证CD⊥面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与面BEF内两相交直线垂直，而CD⊥BF，CD⊥EF，BF∩EF=F，满足定理条件；
（Ⅱ）连接AC交BF于G，在底面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，根据二面角平面角的定义可知∠EHG为二面角E-BD-C的平面角，求出此角的正切值使该值大于tan30°，即可求出k的范围．

解答：（I）证明：由已知∠DAB为直角．
故ABFD是矩形．从而CD⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
故由三垂线定理知CD⊥PD．△PDC中，E、F分别为PC、CD的中点，
故EF∥PD，从而CD⊥EF，CD?面BEF，BE?面BEF
由此得CD⊥面BEF．
（Ⅱ）连接AC交BF于G，
易知G为AC的中点，连接EG，
则在△PAC中易知EG∥PA．
因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD．
在底面ABCD中，过G作GH⊥BD．
垂足为H，连接EH，
由三垂线定理知EH⊥BD．
从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角．
设AB=α则在△PAC中，有EG=

1

2

PA=

1

2

kα
以下计算GH，考虑底面的平面图，
连接GD，因S△GBD=

1

2

BD•GH=

1

2

GB•DF，
故GH=

GB•DF

BD

．
在△ABD中，因AB=a．AD=2a．得BD=

5

a．
而GB=

1

2

FB=

1

2

AD=a，DF=AB，从而得GH=

GB•AB

BD

=

a•a

5 a

=

5

5

a．
因此，tanEHG=

EG

GH

=

1 2 ka

5 a 5

=

5 k

2

．
由k＞0知∠EHG是锐角．故要使∠EHG＞30°，
必须

5 k

2

＞tan30°=

3

3

，
取值范围为k＞

2 15

15

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．