Question

18．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S_n=$\frac{1}{2}•{3^n}+\frac{3}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_nb_n=log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1（n＞1），化简整理，即可得到所求通项；
（2）化简数列b_n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）由2S_n=3ⁿ+3可得a₁=S₁=$\frac{3+3}{2}$=3，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（3ⁿ+3）-$\frac{1}{2}$（3^n-1+3）=3^n-1（n≥2），
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3}^{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$；
（2）由a_nb_n=log₃a_n及a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3}^{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$可得：
b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，n=1}\\{\frac{n-1}{{3}^{n-1}}，n＞1}\end{array}\right.$．
前n项和T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+$\frac{3}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
相减可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{2}{9}$+$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
化简可得，前n项和T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项的求法和求和的方法，考查错位相减法求和，数列的通项和求和的关系，考查运算能力，属于中档题．