Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$的左右焦点分别为F₁，F₂，C上一点P满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则△PF₁F₂的内切圆面积为4π．

Answer 1

分析 根据椭圆的方程，算出a=5且焦距|F₁F₂|=2c=10．设|PF₁|=m，|PF₂|=n，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=48，结合直角三角形的面积公式，可得△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=24，再由S=$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|），求得r，即可得到所求内切圆的面积．

解答 解：∵椭圆$C：\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$，
∴a²=49，b²=24，可得c²=a²-b²=25，即a=7，c=5，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则有m+n=2a=14，m²+n²=（2c）²=100，
可得2mn=96，即mn=48，
∴|PF₁|•|PF₂|=48，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°，
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×48=24，
由S=$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）=$\frac{1}{2}$r•（2a+2c）=12r（r为内切圆的半径），
由12r=24，解得r=2，则所求内切圆的面积为4π．
故答案为：4π．

点评 本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．