Question

【题目】定义：若m﹣ ＜x （m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即m={x}，关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①定义域为R，值域为（﹣ ， ]； ②点（k，0）是函数f（x）图象的对称中心（k∈Z）；③函数f（x）的最小正周期为1； ④函数f（x）在（﹣ ， ]上是增函数．上述命题中，真命题的序号是

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①中，令x=m+a，a∈（﹣ ， ]
∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣ ， ]
所以①正确；
②中，∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}= ，
∴点（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=﹣ 时，m=﹣1，
f（﹣ ）=
x= 时，m=0，
f（ ）=
所以f（﹣ ）=f（ ）
所以④错误．
所以答案是：①③．
【考点精析】认真审题，首先需要了解命题的真假判断与应用(两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系)．