【题目】(本小题满分分)
已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程.
(Ⅱ)设直线与圆相交于, 两点,求实数的取值范围.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得点到, 两点的距离相等,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),圆的方程是.(2)(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以 ,由此能求出圆的方程.
(Ⅱ)把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程,得,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△>0,由此能求出实数a的取值范围.
(Ⅲ设符合条件的实数存在,则存在过点的直线垂直平分弦,由于垂直平分弦,故圆心必在上,从而求出实数的值.
试题解析:
()设圆心为.
由于圆与直线相切,且半径为,所以,即,
因为为整数,故,
故所求的圆的方程是.
()直线即代入圆的方程,消去整理得
,
由于直线交圆于、两点,故,
即,解得或.
所以实数的取值范围是.
()设符合条件的实数存在,则存在过点的直线垂直平分弦,由()得,则直线的斜率为, 的方程为,即.
由于垂直平分弦,故圆心必在上,所以,解得.
因为.
故存在实数,使得点到, 两点的距离相等.
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【题目】已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点,且以为直径的圆过坐标原点,求的面积。
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【题目】已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.
()求双曲线的方程;
()若直线与双曲线交于不同的两点,,且线段的垂直平分线过点,求实数的取值范围.
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【题目】(本小题满分分)
如图,在中, , , 分别为, 的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使,如图.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)求证: .
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?说明理由.
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【题目】某某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组: ,并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为,点.
求过点M且与圆C相切的直线方程;
过点M任作一条直线与圆C交于A,B两点,圆C与x轴正半轴的交点为P,求证:直线PA与PB的斜率之和为定值.
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