【题目】已知函数f(x)=sin2x+sinx+cosx,以下说法中不正确的是( )
A.f(x)周期为2π
B.f(x)最小值为﹣
C.f(x)在区间[0, ]单调递增
D.f(x)关于点x= 对称
【答案】C
【解析】解:①∵f(x+2π)=sin[2(x+2π)]+sin(x+2π)+cos(x+2π)=sin2x+sinx+cosx=f(x),
∴函数周期为2π,故①正确;
②设t=sinx+cosx= sin(x+
)∈[﹣
,
],
∴t2=(sinx+cosx)2=1+sin2x,
∴sin2x=t2﹣1,
∴y=sin2x+sinx+cosx=t2﹣1+t=t2+t﹣1=(t+ )2﹣
,t∈[﹣
,
],
由二次函数可知,当t∈[﹣ ,﹣
]时,函数y=t2+t﹣1单调递减,当t∈[﹣
,
]时,函数y=t2+t﹣1单调递增,
∴当t=﹣ 时,函数取最小值ymin=﹣
,故②正确;
③∵f(x)=sin2x+sinx+cosx,
当x= 时,f(x)=1+
,
当x= 时,f(x)=1,
∴f(x)在区间[0, ]不是单调递增.
故③错误;
④∵f( ﹣x)=sin[2(
﹣x)]+sin(
﹣x)+cos(
﹣x)=sin(π﹣2x)+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f(x),
∴函数关于x= 对称,故④正确.
所以答案是:C.
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【题目】在一次商贸交易会上,商家在柜台开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖.
(1)若抽奖规则是从一个装有个红球和
个白球的袋中一次取出
个球,当两个球同色时则中奖,求中奖概率;
(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在
之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(1)求椭圆的方程式;
(2)已知动直线与椭圆
相交于
两点.
①若线段中点的横坐标为
,求斜率
的值;
②已知点,求证:
为定值.
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【题目】设满足以下两个条件的有穷数列,
,
,
为
阶“期待数列”:
①;
②.
()分别写出一个单调递增的
阶和
阶“期待数列”.
()若某
阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式.
()记
阶“期待数列”的前
项和为
,试证:
.
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【题目】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差;
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率。
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)过点P(1,
).离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点.
①若直线l过椭圆C的右焦点,记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t.
求t的最大值;
②若直线l的斜率为,试探究OA2+ OB2是否为定值,若是定值,则求出此
定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下,观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(分及以上为及格)和平均数?
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【题目】某校高三年级进行了一次学业水平测试,用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩,准备进行分析和研究.经统计,成绩的分组及各组的频数如下: ,2;
,3;
,10;
15; ,12;
,8.
(1)完成样本的频率分布表,画出频率分布直方图;
(2)估计成绩在85分以下的学生比例;
(3)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数(精确到0.01).
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