Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax， ．
（Ⅰ）当b=1时，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）若对x∈[0，+∞），f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当b=1时， ，x∈（﹣1，+∞），

，

当x∈（﹣1，0）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；

当x∈（0，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；

∴函数g（x）的最大值g（0）=0．

（Ⅱ） ，∵x∈[0，+∞），∴ ．

①当a≥1时，f'（x）≤0恒成立，

∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，

∴f（x）≤f（0）=0适合题意．

②当a≤0时， ，

∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，

∴f（x）=ln（1+x）﹣ax＞f（0）=0，

不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立．

③当0＜a＜1时，

令f'（x）=0，得 ，

当 时，f'（x）≥0，

∴f（x）在 上为增函数，

∴f（x）＞f（0）=0，不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立，

∴a的取值范围是[1，+∞）．

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得 ，

∴ （x＞0），

取 ， ，则 ，

∴

= ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（Ⅰ）根据 g ( x )导函数的性质即可得出原函数的最值。（Ⅱ）求出f（x）的导函数，讨论导函数在a的不同区间上的性质即可得出满足题意的a的取值范围。（Ⅲ）整理已知根据题意利用求和公式由放缩法即可得证。
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．