Question

已知过函数f（x）=x²+bx图象上点A（1，f（1））的直线l与直线3x-y+2=0平行，且直线l与函数图象只有一个交点．又数列

1

f(n)

（n∈N^*）的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为

 

．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义求b，然后通过数列{

1

f(n)

}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S₂₀₁₃的值．

解答：解：∵f（x）=x²+bx，
∴f'（x）=2x+b，
∵直线3x-y+2=0的斜率为3，
又点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
∴f'（1）=2+b=3，解得b=1，
∴f（x）=x²+x=x（x+1），
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₂=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2012

-

1

2013

)
=1-

1

2013

=

2012

2013

，
∴S₂₀₁₂=

2012

2013

．
故答案为：

2012

2013

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．常见的数列求和的方法有：分组求和法，裂项法，错位相减法，倒序相加法．要根据具体的通项公式的特点进行判断该选用什么方法进行求和．本题利用裂项法求数列的和，考查学生的综合能力．属于中档题．