Question

13．求和：1²-3²+5²-7²+…+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}，n为偶数}\\{2{n}^{2}-1，n为奇数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 当n=2k（k∈N^*）时，原式=（1-3）（1+3）+（5-7）（5+7）+…+[（2n-3）-（2n-1）][（2n-3）+（2n-1）]，化简利用等差数列的前n项和公式即可得出；当n=2k-1（k∈N^*）时，原式=-2（n-1）²+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²，化简即可得出．

解答 解：当n=2k（k∈N^*）时，原式=（1-3）（1+3）+（5-7）（5+7）+…+[（2n-3）-（2n-1）][（2n-3）+（2n-1）]
=-2×[1+3+5+…+（2n-1）]
=-2×$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=-2n²．
当n=2k-1（k∈N^*）时，原式=-2（n-1）²+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²
=-2（n-1）²+（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）²．
=2n²-1．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}，n为偶数}\\{2{n}^{2}-1，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、数列分组求和，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．